Обчислення визначника методом Краута за $O(N^3)$

У цій статті ми опишемо, як знайти визначник матриці методом Краута, який працює за $O(N^3)$ .

Коли підходить цей алгоритм?

Потрібен точний визначник з елементами великої точності (довга арифметика, BigDecimal), де похибка double неприйнятна? (якщо вистачає точності з рухомою комою → простіший Метод Гаусса)
Стане в пригоді сам LU-розклад ( $A = LU$ ) — наприклад, для повторного розв'язання систем з тією самою матрицею?
Усі головні мінори ненульові (LU-розклад існує й однозначний)?

Алгоритм Краута знаходить розклад матриці $A$ у вигляді $A = L U$ , де $L$ — нижня трикутна, а $U$ — верхня трикутна матриця. Без втрати загальності можемо вважати, що всі діагональні елементи матриці $L$ дорівнюють 1. Щойно ми знаємо ці матриці, обчислити визначник $A$ легко: він дорівнює добутку всіх елементів на головній діагоналі матриці $U$ .

Існує теорема, яка стверджує, що будь-яка оборотна матриця має LU-розклад, і він єдиний тоді й лише тоді, коли всі її головні мінори ненульові. Ми розглядаємо лише такий розклад, у якому діагональ матриці $L$ складається з одиниць.

Нехай $A$ — матриця, а $N$ — її розмір. Елементи матриць $L$ та $U$ ми знаходимо за такими кроками:

Покладемо $L_{i i} = 1$ для $i = 1, 2, ..., N$ .
Для кожного $j = 1, 2, ..., N$ $j = 1, 2, ..., N$ виконуємо:
- Для $i = 1, 2, ..., j$ знаходимо значення
  $U_{ij} = A_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik} \cdot U_{kj}$
- Далі, для $i = j+1, j+2, ..., N$ знаходимо значення
  $L_{ij} = \frac{1}{U_{jj}} \left(A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} \cdot U_{kj} \right).$

Реалізація

static BigInteger det (BigDecimal a [][], int n) {
	try {

	for (int i=0; i<n; i++) {
		boolean nonzero = false;
		for (int j=0; j<n; j++)
			if (a[i][j].compareTo (new BigDecimal (BigInteger.ZERO)) > 0)
				nonzero = true;
		if (!nonzero)
			return BigInteger.ZERO;
	}

	BigDecimal scaling [] = new BigDecimal [n];
	for (int i=0; i<n; i++) {
		BigDecimal big = new BigDecimal (BigInteger.ZERO);
		for (int j=0; j<n; j++)
			if (a[i][j].abs().compareTo (big) > 0)
				big = a[i][j].abs();
		scaling[i] = (new BigDecimal (BigInteger.ONE)) .divide
			(big, 100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
	}

	int sign = 1;

	for (int j=0; j<n; j++) {
		for (int i=0; i<j; i++) {
			BigDecimal sum = a[i][j];
			for (int k=0; k<i; k++)
				sum = sum.subtract (a[i][k].multiply (a[k][j]));
			a[i][j] = sum;
		}

		BigDecimal big = new BigDecimal (BigInteger.ZERO);
		int imax = -1;
		for (int i=j; i<n; i++) {
			BigDecimal sum = a[i][j];
			for (int k=0; k<j; k++)
				sum = sum.subtract (a[i][k].multiply (a[k][j]));
			a[i][j] = sum;
			BigDecimal cur = sum.abs();
			cur = cur.multiply (scaling[i]);
			if (cur.compareTo (big) >= 0) {
				big = cur;
				imax = i;
			}
		}

		if (j != imax) {
			for (int k=0; k<n; k++) {
				BigDecimal t = a[j][k];
				a[j][k] = a[imax][k];
				a[imax][k] = t;
			}

			BigDecimal t = scaling[imax];
			scaling[imax] = scaling[j];
			scaling[j] = t;

			sign = -sign;
		}

		if (j != n-1)
			for (int i=j+1; i<n; i++)
				a[i][j] = a[i][j].divide
					(a[j][j], 100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);

	}

	BigDecimal result = new BigDecimal (1);
	if (sign == -1)
		result = result.negate();
	for (int i=0; i<n; i++)
		result = result.multiply (a[i][i]);

	return result.divide
		(BigDecimal.valueOf(1), 0, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN).toBigInteger();
	}
	catch (Exception e) {
		return BigInteger.ZERO;
	}
}

Реалізація​

Відеоматеріали​

Реалізація

Відеоматеріали